Математичні цікавинки

           

                       

      Зразки задач для розвитку логічного мислення

 

1. Син мого батька, а не брат мені. Хто це? (Я сам.)

2. Скільки у сім'ї дітей, якщо у кожного брата сестер і братів порівну, а в кожної сестри братів удвічі більше, ніж сестер? (7 дітей: 4 брати, 3 сестри).

3. Котра зараз година, якщо частина доби, яка залишилася, у 2 рази менша від тієї, що минула? (16-та година)

4. Стінний годинник відбиває цілі години і ще одним ударом кожні півгодини. Скільки ударів на добу робить цей годинник?

5. Сергійко думав, що прийшов на зустріч на 15 хв раніше від її початку, але його годинник відставав на 10 хв, а початок зустрічі затримався на 20 хв. Скільки часу чекав Сергійко початку зустрічі?

6. Один чоловік вип'є діжку води на 30 л за 10 днів, а разом із дружиною вип'є таку саму діжку води за 6 днів. За скільки днів таку діжку води вип'є дружина?

7.Летіла зграя гусей, а назустріч їм гусак. "Здрастуйте, сто гусей", - говорить гусак. А йому у відповідь: "Ні, нас не сто. Якби нас було ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть, та ти з нами, тоді було б сто". Скільки гусей було у зграї?

8. Два брати пішли до школи. Коли пройшли 240 м, то старший брат згадав, що забув вдома

лінійку і повернувся, а молодший продовжував свій шлях. Старший узяв лінійку і відразу

пішов до школи. Коли він підійшов до того місця, звідки повертався, то молодший брат саме

заходив до школи. Яка відстань від дому до школи? (Швидкість руху братів однакова.)

9. З двох метрів полотна

Виходить простиня одна,

А скільки метрів слід купити,

Щоб 8 простиней пошити?

10. Купив один чоловік трьох видів сукна 120 аршин, першого виду взяв на 12 більше від

другого, а другого на 9 більше від третього. Скільки якого сукна було взято?

11. Із сірників складемо рівність (VI-IV=XI), яка, як видно, неправильна. Як перекласти один

сірник, щоб одержати правильну рівність?

Відповідь: VI+V=XI або VI+IV=X.

12. Шість вишеньок татко дав Марусі. У 9 разів більше у Катрусі, 4 вишні ще зірвали. Скільки всіх вишень вони мали?

13. Ігор, Василь, Назар зайняли на олімпіаді з математики I, II, III місця. Василь зайняв не I, а Ігор - не II місця. Назар зайняв не II, а Василь - не III місце. Яке місце зайняв кожен з хлопчиків?

14. Старовинна задача: Говорить дід онукам: "Ось вам 130 горіхів. Розділіть їх на 2 частини так, щоб менша частина, збільшена в 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній у 3 рази". Як розділити горіхи?

15. У народності майя існував дуже цікавий спосіб запису чисел. На малюнку 2 показано, як цим способом записувати числа 11, 15, 17. Спробуй самостійно заповнити порожні клітинки для чисел другого десятка.

16. Старовинна задача: Дехто має 6 синів, один другого старший на 4 роки, а найстарший утричі старший молодшого. Який вік синів?

17. Старовинна задача: Собака побачила зайця у 150 саженях від себе. Заєць пробігає за 2 хвилини 500 саженів, а собака - за 5 хвилин 1300 саженів. За який час собака наздожене зайця?

18. Три дошкільниці - Галинка, Маринка й Олеся - прийшли на святковий ранок у платтях різного кольору: жовтому, рожевому й синьому. Галинка була не в жовтому, Маринка - не в жовтому і не в рожевому. В якому платті була кожна дівчинка?

19. Є дві каструлі - на 5 л і на 3 л. Як з їх допомогою набрати з річки 4 л води?

20. Господиня купила 5 рушників, по 4 грн. кожний. У неї залишилося ще 45 грн. Скільки грошей було?

21. Батько за місяць отримує зарплату – 2000 грн., мати – 1500 грн., донька стипендію – 350

 грн., дідусь пенсію – 850 грн. Визначити дохід сім’ї з 4 чоловік.

 22. На приготування обіду кухар витратив 36 кг картоплі, капусти – у 4 рази менше, ніж картоплі, а цибулі – у 3 рази менше, ніж капусти. Скільки кілограмів цибулі витратив кухар?

23. Для шкільної ялинки купили 6 малих наборів кульок і 9 великих. У кожному малому наборі 4 кульки, а у великому 6. Скільки всього кульок купили?

24. Майка коштує 4 грн., а сорочка – у 5 раз дорожча. Яка вартість майки і сорочки разом?

                                   Питання  для  «вундеркіндиків»

 

- Що необхідно взяти з собою, йдучи в магазин купувати товар? (Гроші.)

- Що таке гроші? (Особливий товар, який можна обміняти на будь-який інший товар.)

- Як називають гроші нашої держави? (Гривні, копійки.)

- На які кошти живуть наші сім’ї? (Доходи.)

- Що таке дохід? (Це те, що «доходить до наших рук».)

- Які види доходів ви знаєте? (Заробітна плата, стипендія, пенсія, прибуток, відсотки.)

- Яке слово заховалося всередині слова «потреби»? (Слово «треба».)

- А що таке потреба? (Потреба – це необхідність у певних речах, бажання їх мати.)

- Як ви гадаєте, скільки потреб у людини? А у кожного з вас? (Багато потреб.)

- Які головні потреби можуть бути в людей? (Потреба в їжі, одязі, взутті, житлі, сонці, воді тощо.)

- Щодня, заходячи до магазину, ми потрапляємо у світ товарів. Що ж таке товар? (Це все, що можна купити і продати.)

- Товари – це речі, призначені для продажу. Як ці речі потрапляють до магазину?

 (Їх виготовляють люди на фабриках і заводах. До того, як потрапити на прилавки магазинів, ці речі називаються продуктами праці. І тільки в магазинах, кіосках, на ринку вони стають товарами. Товари створюються тільки для того, щоб їх купували.)

- Ми часто чуємо такі поняття «вартість» і «ціна». Де ви чули ці слова? (У магазині, в розмові між дорослими.)

- Чи всі товари мають однакову вартість? (Кожен товар вимагає різних затрат, різноманітні складності процесу роботи над виготовленням товару.)

- А що таке ціна? (Вартість товару, виражена в грошових одиницях.)

                     

     

                                   Задачі-жарти

 

1.   На столі лежали 3 цукерки в одній кучці. Дві матері, дві дочки та бабуся з внучкою взяли цукерки по одній штучці, і не стало цієї кучки. Як це розуміти. Скільки чоловік брали цукерки?

2.   Перед вами стоять в ряду 6 склянок, з яких перші 3 з водою, а решта 3 пусті. Що потрібно зробити, щоб склянки пусті і з водою чергувались між собою при умові, що із всіх склянок можна брати лише 1 і всього 1 раз? (Відповідь: взяти другу склянку, перелити з неї воду у п’яту і поставити на місце.).

3.   Два чоловіки підійшли до річки. Біля пустого берегу стояв човен, в якому міг поміститися тільки один чоловік. Обидва без всякої допомоги переправилися на цьому човні через річку і продовжили свій шлях. Як вони це зробили? (Відповідь: двоє підійшли до різних берегів річки.).

4.   Два батьки і два сини зїли 3 апельсина. По скільки зїв кожний з них? (Відповідь: по одному.).

5.   В клітці знаходилося 4 кролика. Четверо дітей купили по одному із цих кроликів і один кролик залишився в клітці. Як це могло статися? (Відповідь: один кролик був куплений з кліткою.).

6.   6 штук картоплин зварилося в каструлі за 30 хвилин. За скільки хвилин зварилась одна штука?

7.   У суботу, стомившись від занять у школі і ігор, Костя ліг спати в 9 годин вечора. Щоб не вставати рано ранком, але і не проспати дуже довго, він завів будильник на 11 годин наступного дня. Скільки всього часу він проспить, перш ніж розбудить його будильник? (Відповідь: Костя проспить всього 2 години, так як в 11 годин вечора того ж дня, тобто в 23 години будильник його розбудить.).

8.   Скільки кінців у 10 палок? А у десяти з половиною?

9.   На березі сиділи дві ворони і дивилися в різні сторони: одна на південь, а друга на північ.

- А у тебе, - говорить перша ворона, - лапки в багні.

               -А у тебе, - відповідає друга, - дзьоб у землі.

           Як же так? Дивляться в різні сторони, а одна одну бачать? (Відповідь:       вони дивляться одна на одну, а це і є різні сторони.).

10.            Що дорожче кілограм гривеників чи півкіло двохгривенників? (Відповідь:  кілограм гривеників дорожче чим півкіло двохгривенників, так як вартість металічних монет зв’язана з вагою витраченого на них металу.).

11.            Якщо в 12 год. Дня іде дощ, то чи можна ждати через 36 год. Сонячної погоди?

12.            Хто назве п’ять днів підряд, не користуючись вказівкою чисел місяця, не називати днів неділі? (Відповідь: позавчора, вчора, сьогодні, завтра, післязавтра.).

                                                              Логічні вправи

 

1.   Яка з даних фігур “зайва” (відрізняється від решти)? Чим вона відрізняється?

(Відповідь: третя фігура “зайва”. Вона має 3 сторони, 3 кути, а решта мають по 4 вказані елементи.)

2.   Чим відрізняються зображені ряди?

3.   Як розрізати фігуру на 2 частини, щоб із них можна було скласти прямокутник?

4.   В сумці у мами знаходяться яблука, лимони і апельсини, всього 10 штук. Скільки в сумці окремо яблук, лимонів і апельсинів, якщо кількість яблук на 7 більше, ніж лимонів? (Відповідь: 8 яблук, 1 лимон, 1 апельсин.).

5.   На гілці сиділо 5 синиць і 7 горобців. 6 пташок полетіло. Чи полетів хоча один горобець? (Відповідь: так, полетів, тому що синичок всього 5, і якщо всі вони полетіли, то тоді серед пташок, які полетіли був горобець.).  

6.   Що більше – 5 одиниць другого розряду чи 8 одиниць першого розряду?

                                                       Ігри

 

                Гра “Один, два, не зіб’юсь”

   Виходять учасники. По черзі рахують, починаючи з 1, а замість числа, кратного 3 , говорять “не зіб’юсь”. Переможцем буде той, хто назве більше натуральне число. Наприклад: один, два не зіб’юсь, чотири, п’ять, не зіб’юсь, сім, вісім, не зіб’юсь...).

                Гра “Виграй приз”.

    Потрібно із зав’язаними очима зрізати приз. Якщо учасник, який зрізав приз, дасть правильну відповідь на математичне запитання, прив’язане до цього призу, він забирає цей приз.

                   Гра “Весела рибалка”

        На підлозі класу обводять контури озера, в яке поміщають рибок. До рибки скріпкою прикріплюються завдання. Учасник бере вудочку. (На кінці ліски – магніт). І ловить рибку. Давши правильну відповідь на запитання – забирає рибку.

                 Гра “Хто швидше порахує до 25”

          На дошці дві однакові таблиці з числами від 1 до 25. хто з учнів першим закінчить рахунок, той переміг.

                 Гра “Не зіб’юсь”.

       Капітани по черзі роблять по 10 кроків і на кожному кроці називають:

-     приклади на додавання;

-     приклади на віднімання.

                  Гра “Футбол”.

       На дошці намальовані футбольні ворота, м’ячі з прикладами. Роль воротаря виконує певна цифра. Суддя – учень з кращих обчислювачів. Діти обчислюють приклади на м’ячиках. Якщо вибрали такий приклад, що відповідь співпадає з цифрою – воротарем, гол вважається забитим.

                 Гра “Хто чим пообідає?”

      Зайчик із різними цифрами: перед ним малюнки капусти, моркви, буряків, яблук із написаними прикладами. Знайти відповіді до прикладів.

                

                                                           Загадки

1.   Одна нога і шапка, а голови нема. Що це таке? (Гриб.).

2.   Штучка – одноручка, носик стальний, а хвостик лляний. Що це? (Голка).

3.   Під двома дугами два яблука з кругами. Що це? (Брови і очі).

4.   Коли сухо – клинок, коли мокро – блинець. Одна нога і та без чобота. Що це? (Парасолька).

5.   Дві вони кленові, підошви – двохметрові. На них поставиш дві ноги – і по глибокому снігу біжи. (Лижі).

6.   Біля ялинок із голок лютневим днем побудовано дім. За травою не видно його, а жильців у ньому мільйон. (Мурашник).

7.   Під дахом чотири ноги, на даху суп та ложки. Що це таке? (Стіл).

8.   Два живота, чотири вушка. Що це таке? (Подушка).

9.   Шестинога на стелі, а восьминогий жде її в кутку. Що це? (Муха і павук).

10.            П’ять хатин, а хід один? Що це? (Рукавичка).

11.            Шість ніг без копит, ходить, та не стукає, літає, а не птах, може вверх ногами сидіти. (Муха).

12.            Чотири ноги, сто голок несе, а шити не уміє. (Їжачок).

13.            Син мого батька, а мені не брат. Хто це? (Я сам).

14.            Сімдесят одежинок та всі без застібок. (Капуста).

15.            Є, діти, у мене два срібних коня. Їду зразу ж на обох! Що за коні у мене? (Ковзани).

16.            Хто за рік чотири рази перевдягається? (Земля).

17.            Сидить баба у сто шуб вдягнута. Хто її роздягає, той сльози проливає. (Цибуля).

18.            Цей кінь не їсть вівса, замість ніг – два колеса. Сідай верхи і мчись на нім, - тільки краще управляй кермом! (Велосипед).

                           Зразки задач з економічним змістом

1)    Із незакритого до кінця крану з водою за годину виливається крапля за краплею 10 л води. Скільки води виллється за 4 години?

      2) Туристи не загасили вогнище, почалася пожежа, під час якої згоріло 15     га лісу. На кожному гектарі росло 100 дерев. Скільки всього згоріло дерев?

     3) Один вантажний автомобіль за один раз може перевезти два верстати. Скільки потрібно таких автомобілів , щоб перевезти 18 верстатів?

    4) Є два бідони місткістю 2л і 7 л. Як за їхньою допомогою набрати з річки 3л води?

   5) В 2-А класі 3 хлопчика мріють стати банкирами, а в 2-Б класі – у 3 рази більше . Скільки всього хлопчиків в обох класах мріють стати банкирами?

   6) Художнику-дизайнеру і фітофлористу потрібно було оформити 12 залів для виставки, але вони оформили у 2 рази менше. Скільки їм залишилося оформити залів?

   7) Листоноша розніс 35 газет, 19 – журналів і 8 вітальних листівок . Скільки всього друкарських видань розніс листоноша?

    8) В перукарні «Аліса» за 2 години підстригли 16 чоловік, в перукарні «Мрія» - на 3 чоловіка менше, а в перукарні «Алегро» - стільки, скільки підстригли в перукарні «Мрія». Скільки всього людей підстригли в трьох перукарнях

                                  Тлумачний   словничок   деяких    мір

Аршин - від персидського "арш" (лікоть), старовинна міра довжини. На Русь аршин прийшов 500 років тому разом з купцями з далеких східних країн.

Бал - з французької, означає "м'яч", "куля". Ним оцінюють знання і поведінку, силу землетрусу і густину льоду, майстерність спортсмена і хмарність неба, силу вітру, якість землі тощо.

Вузол - одиниця швидкості морських суден; вузол - це морська миля за годину або 1,85 кілометра за годину.

Гектар - від "гектон" (сто) і "ар" (площа, поверхня); 1 га = 100 арів = 10 000 м2.

Градус - у перекладі з латинської означає "крок", "ступінь". Градусами вимірюють різні величини - кути і дуги, температуру.

Грам - від грецького "крамме" (дрібна міра маси). Кожна мідна монета важить стільки грамів, який ЇЇ номінал (позначення вартості на монетах): 5 копійок - 5 грамів, 3 копійки - 3 грами і т.д.

Доба - це час, протягом якого Земля обертається навколо своєї осі; 1 доба = 24 год.

Дюйм - від голландського "дюїм" (великий палець), міра довжини. Дорівнює 2,54 см.

Золотник - російська одиниця маси. Нею вимірювалася маса золотих виробів.

Календар - від латинського "календаріум", боргова книжка. За календарем можна

полічити великі проміжки часу - місяці, роки, століття, можна одержати відповіді на запитання: "Яке сьогодні число?" і "Скільки минуло років?"

Кілограм - головна одиниця маси; народився він наприкінці XVIII ст. у Франції.

Лінія - дуже маленька одиниця довжини, всього 2,54 міліметра. У Росії лініями вимірювали два види предметів: нижній діаметр стекол для гасових ламп І калібр гвинтівки або кулемета.

Математика - у перекладі з грецької означає "знання", "наука". Розтлумачує кількісні та просторові поняття.

Метр - від грецького "метрон" (палиця для вимірювання). Це основна одиниця довжини, рівна одній

сорокамільйонній частині Паризького меридіана.

Миля - від латинського "міліа" (тисяча). Колись милею називали відстань у тисячу подвійних кроків.

Місяць - одна з мір часу (від двадцяти восьми днів до тридцяти одного)

Пуд - стародавня міра маси, дорівнює 16 кг.

Рік - це час, за який Земля обертається навколо Сонця; за рік змінюють один одного чотири пори року; 1 рік =12 місяцям = 365 або 366 добам.

Сажень - від слова "саджати" (малося на увазі саджати молоді деревця). Означає відстань між великими пальцями витягнутих у сторони рук.

Тиждень - це сім днів, які йдуть один за одним. Кожен з днів має свою назву: неділя - коли "не роблять ніякого діла", тобто відпочивають, понеділок - одразу після неділі, вівторок - Другий (вторий) день, (Середа - середина, четвер - четвертий, п'ятниця - п'ятий, субота, по-єврейськи - шабаш, тобто день,

коли не працюють.

Фунт - міра маси. Походить від латинського слова "пондус" (вага, гиря), становить 450 г.

Фут - міра довжини, у перекладі з англійської означає "ступня".

Хвилина - проміжок часу; з 60 хвилин складається година.

Ярд - англійська одиниця довжини; 1 ярд дорівнює З футам.

 Математична  скарбничка  знавця  математичних  наук   

                                                      

                                                           Довідкове   бюро

 

"Про знаки арифметичних дій, рівності та нерівності."

З`явилися вони, ці знаки, у такому вигляді, як ми їх знаємо, з поширенням у Європі арабського написання чисел. Звичайно, не всі зразу.

Першими народилися знаки додавання "+" і віднімання "-". Їх наприкінці XV століття (в 1489 р.) застосував лейпцігський професор Ян Відман у творі "Швидка і красива лічба для всього купецтва".

Але ж люди вміли віднімати і додавати раніше! Як же позначали ці дії на письмі? У різних народів по-різному. Єгиптяни, наприклад, коли хотіли додати два числа, схематично малювали дві людські ноги, що "рухалися" вперед, а при відніманні ступні цих ніг скеровували в зворотному напрямку. У стародавніх греків додавання позначали вертикальною рискою, а віднімання - значком, схожим на кому. У Європі дію додавання ще позначали літерою "р" або "Р" (початкова літера латинського слова "плюс" - більше), а віднімання "m" або "М" (від латинського "мінус" - менше). Однак ці позначення не прижилися.

Знак множення "X" - навскісний хрест - знаходимо у праці англійського математика Уїльяма Оутреда "Математичний ключ" (1631-й рік). Згодом, у 1698 році, видатний німецький математик Готфрід-Вільгельм Лейбніц дію множення запропонував передавати крапкою (), а трохи раніше, у 1684 році, впровадив дві крапки () для позначення ділення. Щоправда, ці знаки дістали загальне визнання і набули поширення лише у XVIII столітті завдяки підручникам німецького математика Крістіана Вольфа.

Знак рівності "=" ввів англійський учений Роберт Рекорд ще в XVI столітті. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два однакових паралельних відрізки. До нього в математиці користувалися іншими знаками рівності. Так, старогрецький математик Діофант відношення рівності позначав літерою "і" (початкова у слові "ізос" - рівний). Індійські і арабські математики, а також більшість європейських найчастіше, аж до XVII століття, вживали для цього повністю або скорочено слово "рівний".

Знаки " >" і "< " для позначення відношень нерівності систематично почав застосовувати англійський математик Томас Гаррієт. Його книжка, де він вживає ці знаки, побачила світ у 1631 році.

Знаки Х, У, Z – невідомі або змінні величини – запроваджені французьким вченим Рене Декартом у 1637 р.

Знак - ∞ - безкінечність. В 1655 р. виходить у світ праця Джона Валліса «Арифметика безкінечного», де вперше приводиться знак.

Дужки круглі знаходимо у математичних творах першої половини XV століття. До їхньої появи ставили риски над виразом, якого вони стосувалися, або ж під ним, що було дуже незручно під час друкування.

Знак ділення й дробу - горизонтальна риска - вперше зустрічається у італійського математика Леонардо Пізанського, який, мабуть, запозичив його з арабських рукописів. Для зручності в друкуванні англієць Август де Морган замінив горизонтальну риску навскісною.

«Прототипи на шому комп’ютеру»

Вважається, що комп’ютер – дитя ХХ століття. Що ж, це справедливо. Але ж у кожної дитини є батьки, а в батьків є свої батьки, і вбатьків батьків також були свої батьки…

Так заведено не тільки у людей. У рочей теж бувають батьки, точніше – прототипи. Звернімося до одного дуже цікавого факту. У 1901 році до національного музею в Афінах (столиці Греції) принесли загадковий, піднятий з морського дна, бронзовий предмет. Його знайшли серед обламків древнього корабля, який затонув Знадобилось багато зусиль вчених того, щоб із цього незугарного шматка металу вилучилти воістину інформацію. Знайдений предмет був ні чим іншим, як залишками складної механічної обчислювальної машини древніх греків. Такими лічильними пристроями користувались астрономи, купці, чиновники… І це – понад дві тисячі років тому!

Йдемо далі. Наша ера. 1642 рік. Європа, Французький математик і фізик Блез Паскаль створив справжню «Арифметичну машину», над якою працював 12 років. За її зразком було виготовлено 50 екземплярів «арифмометрів».

А ось і ХХ століття. 1937 -1942 роки. За цей період американський фізик Джон Атаносов створив найпершу машину. Як бачете, у сучасної ЕОМ – дуже давній родовід. Назвавши комп’ютер електорнно – обчислювальною машиною, ми не помилились. З часом люди навчили комп’ютер не тілки лічити, але й виконувати інші корисні прграми. А саме слово «комп’ютер» походить від латинського computare – лічити, рахувати.

Маріанський жолоб (іноді його називають западиною) знаходиться в західній частині Тихого океану, неподалік від Маріанських островів. Глибина Маріанського жолоба – 11022 м - це максимальна глибина Світового океану.

"Перший годинник".

Ми звикли до годинника. Навіть не віриться, що колись люди не знали його. А такий час був. Наші далекі предки розпізнавали тільки ніч, ранок, день і вечір. Потім час вимірювали за довжиною тіні. Подовжилась тінь людини на три ступні - незабаром вечір. Ти маєш прийти в гості "у чотири ступні" - чекай, бо ще рано. Проте цей спосіб був незручний: ступні ж у людей неоднакові, до того ж взимку тінь довшає швидше, ніж улітку. Треба було шукати іншого способу. І його, нарешті, було знайдено. На рівному, відкритому для сонця майданчику вкопали палицю, обвели колом і стали уважно спостерігати за рухом її тіні. Це був перший сонячний годинник. З часом його удосконалили.

Годиннику було дано назву гномон (від грецького "стовпчик"). У стародавньому Вавілоні на вершині найбільшої піраміди поставили глиняний стовп. Рівний майданчик під ним розкреслили на однакові сегменти. Коли тінь від сонця наближалася до однієї з ліній, жрець проголошував: "Волею бога минула ще одна голина від сходу сонця!"

За переказами, перший механічний годинник з'явився 996 року в давньому німецькому місті Магдебурзі. До нашого часу зберігся годинник на башті Вестмінстерського абатства в Лондоні. Ще у XIII столітті він показував час жителям цього міста.

На початку XVI століття нюрнберзький винахідник Петер Генлейн змайстрував кишенькового годинника, який називали "нюрнберзьке яйце". Через півстоліття годинник отримав хвилинну стрілку, а ще через двісті років - секундну.

Російські вмільці майстрували механізми не гірше від зарубіжних колег. Талановитий винахідник і механік Іван Петрович Кулібін, який жив у кінці XVIII століття, створив справжнє чудо техніки: його годинник показував і відбивав цілі години, половини і чверті.

Золоті руки були у Кулібіна, але, як і багатьом російським винахідникам, йому випала нелегка доля. Зараз його творіння виставлене в Ермітажі.

Опівночі, в кожну оселю Росії, долинає бій Кремлівських курантів. Шість століть вони ведуть рахунок часу.

Ось яка історія виникнення годинника.

"Коротка мандрівка в історію чисел і цифр"

Кількасот років тому з цифрами мало справу небагато людей: вчені, збирачі податків, купці тощо. Нині ж цифри постійно нагадують нам про себе. Відрізки часу, температура повітря, номер будинку і квартири, номер школи тощо - все позначається цифрами.

Цифри - це символи чисел, знаки, за допомогою яких числа передають на письмі. Перше народилися числа, а вже потім - цифри. Спочатку люди навчилися лічити, "винайшли" число, а тоді знайшли спосіб записувати результати лічби.

Як же виникла лічба? З давніх-давен люди дошукувалися відповіді на це запитання. І в різних народів відповідь була однакова. Стародавні греки, наприклад, вважали, що людей навчив лічити Прометей. Той самий, що за легендою викрав у богів вогонь і віддав його людям. Взагалі більшість народів появу числа пов'язувала з "діяннями" богів або ж міфічних героїв. Щоправда, інколи цю заслугу приписували людям, які насправді жили колись. Автори староруських рукописів, наприклад, вважали, що лічбу винайшов Піфагор - старогрецький математик, який жив у VI столітті до нашої ери. Піфагор був великим математиком, але ж люди вміли лічити задовго до VI століття! І не просто вміли лічити, але й мали вчених, які писали математичні книги. Найдавніша математична книга дійшла до нас з другого тисячоліття до нашої ери. І цілком можливо, що книжки, написані ще раніше, до нас просто не дійшли…

Доведено, що був час, коли люди обходились без чисел. Наприклад, мешканці австралійських джунглів, бажаючи обмінятися продуктами, чинили так. Люди одного племені клали на землю в'язки їстівного коріння, а другого - навпроти кожної такої в'язки ставили кошик з рибою. Встановивши відповідність рівночисельних множин, провадили обмін.

Можна назвати винахідника, який сконструював ту чи іншу машину, можна назвати вченого, який відкрив той чи інший закон природи, але ніхто не може назвати того, хто поклав початок лічбі. Уміння лічити прийшло до людей з життєвим досвідом. Саме життя спонукало людину до цього.

Не можна назвати імені й того, хто навчив людей записувати результати лічби. Але ми можемо напевне сказати, що сталося це тоді, коли люди вже вміли писати.

Спочатку кількість передавали за допомогою малюнка. Приміром, щоб показати число 1, малювали 1 палець, 2 - два пальці, 10 - з'єднані руки, 100 - згорнуту вимірну мотузку, 1000 - квітку лотоса. Взагалі квітка лотоса була символом великого числа. Цей спосіб запису чисел застосовували в стародавніх країнах - Єгипті і Китаї. Греки ще в V столітті до нашої ери назвали такі знаки ієрогліфами - "священним різьбленням".

З розвитком писемності, зокрема буквеного письма, числа почали записувати словами. Спочатку записували повністю, потім скорочено, використовуючи лише першу літеру числівника. Стародавні математики прийшли до висновку: це не дуже зручно, і от у V столітті до нашої ери зароджується нова, алфавітна система нумерації: першими дев'ятьма літерами позначали одиниці (від 1 до 9), наступні дев'ять літер використовувалися для позначення десятків (від 10 до 90), а ті, що йшли за ними, дев'ять літер - для позначення сотень (від 100 до 900).

Проте у щойно згаданих систем нумерації - ієрогліфічній та алфавітній - був один досить суттєвий недолік: ієрогліфічні знаки й літери не мали чітко визначеного місця - позиції. Такий запис дуже ускладнював обчислення. Щоправда, ще у стародавньому Вавілоні, де користувалися своєрідним письмом - клинописом і де числа позначали тими ж значками-клинцями, вже намагалися закріпити за одиницями, десятками, сотнями певне місце. До цього вавілонян змушувала обмежена можливість їхнього письма. Клинці є клинці, багато їх не вигадаєш! От і додумалися закріпити за певними розрядами чисел певне місце. Значно пізніше, з другого століття нової ери, цю спробу самостійно почали розвивати в Греції, а незабаром позиційний запис чисел удосконалюють в Індії. Саме індійська система лягла в основу нашої нинішньої системи числення.

Систему числення, основану на позначенні всіх натуральних чисел десятьма знаками - цифрами, вперше описав і застосував у IX столітті талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі "Арифметика індорум".

У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав її в 1202 році у своїй праці "Книга обчислень". Але утвердилася ця система в Західній Європі значно пізніше - у XV-XVI століттях.

На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII столітті. Так, на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи, знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже нумерують сторінки російських книг, їх карбують на золотих монетах. А в середині століття ними користуються в рукописних працях. В 1703 році в "Арифметиці" Леонтія Магницького, тій самій, з якої черпав свої перші знання з математики великий російський учений Михайло Ломоносов, усе арифметичне вчення викладене на основі позиційної системи числення, і тільки сторінки підручника позначені слов'янською нумерацією.

"Найдавніші цифри"

Як виникло саме слово "цифра"?

Походить воно від арабського слова "сифр", що в перекладі означає "порожнє, місце". Річ у тім, що індійці не мали чим позначати відсутність розрядного числа і там, де нині стоїть нуль, ставили крапку, яку називали "сифр". Коли ж з'явився нуль, його також стали називати цифрою. Так було до XVIII століття - поки він дістав своє наймення від латинського слова "нулюс", що означає "ніякий". А цифрами стали називати символи чисел взагалі.

Найдавніші цифри, які ми досі знаємо, - це числові символи вавілонян і єгиптян. Вавілоняни мали клинописні знаки для чисел 1, 10, 100 (або лише 1 і 10), решту ж натуральних чисел записували шляхом поєднання цих знаків між собою.

Єгиптяни мали значно різноманітніший набір знаків-ієрогліфів для позначення чисел.

У давньому єгипетському рукописі, що зберігається в Британському музеї в Лондоні, зустрічаються навіть дробові числа. Характерно, що єгиптяни визнавали такий дріб, у якого чисельник був одиницею, а знаменник - яким завгодно числом, та ще допускали дріб 2/3.

Якщо задача зводилася до відповіді у вигляді дробового числа, то його подавали як суму одиничних дробів.

Наприклад, 7/8 єгиптянин уявляв собі як 1/2+1/4+1/8 і записував без знаків додавання: 1/2 1/4 1/8.

Припустимо, треба 7 хлібин розділити на 8 рівних частин. Ми сказали б, що це буде 7/8 хлібини. Але ж тоді числа 7/8 не було і люди знали лише, що від ділення 7 на 8 одержують 1/2+1/4+1/8. Тому єгиптяни дійшли думки, що для поділу семи хлібин на вісім рівних частин треба мати 8 половинок, 8 чверток і 8 осьмушок. Вони розрізали 4 хлібини навпіл, 2 хлібини - на чвертки і 1 хлібину - на осьмушки. Отже, для такого поділу треба було зробити 17 (4+6+7) розрізів.

А як єгиптяни лічили? Є підстави гадати, що вони користувалися лічильною дошкою із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали камінці - їх було не більше дев'яти. Щоразу, коли доводилося класти десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці і на сусідню, праву, смугу клали один камінець. Таким чином, єгиптяни лічили, як ми. Можна гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.

"Від ліктя до метра. Тлумачний словничок деяких мір"

В різних народів за різних часів існували свої міри довжини й ваги. У стародавніх арабів, наприклад, найменшою мірою довжини був поперечник макового зерняти. Сім макових зернят складали більшу одиницю вимірювання, що дорівнювала поперечнику гірчичного зерна. Міряли араби і ячмінними зернами, і фалангами великого пальця.

Римляни за одиницю міри площі - югер - брали площу, яку могла зорати за день пара волів. А в Сибіру була міра довжини бука. Це віддаль, на якій людина перестає розрізняти роги бичка.

На початку XII століття англійський король Генріх І видав грамоту про міри довжини. На вулицях Лондона оповісники по кілька разів голосно читали це королівське веління. В ньому говорилося, що віднині зразком міри служитиме рука його величності короля.

Такий наказ нікого не здивував, бо в ті часи населення країни вимірювало товари власними руками й ногами-ліктями й футами.

Лікоть - міра довжини, що дорівнювала віддалі від ліктя до кінця середнього пальця правої руки, - прийшов у Європу зі Сходу разом з арабами в раннє середньовіччя. Фут (в перекладі з англійської - "ступня") - це європейська міра довжини, яка дорівнює довжині людської ступні. Але ж руки і ступні в людей неоднакові. От і наказав король, щоб не було ніякого ошуканства, взяти мірою довжини його, королівську руку - від кінчика пальця до ліктя.

... У 1789 році було розв'язано дуже важливе для міжнародних торгових зв'язків питання. Французькі вчені вирішили, що за одиницю довжини найкраще взяти одну сорокамільйонну частину Паризького меридіана. Цій мірі дали грецьку назву - "метр". Від метра походить дециметр (1/10 його частина), сантиметр (1/100 частина) і міліметр (1/1000 частина).

У дореволюційній Росії була надзвичайно строката система мір. Та, власне, ніякої такої системи й не було. Поряд із старими слов'янськими мірами користувалися деякими англійськими, що прийшли ще за часів Петра І. Тут безборонно співіснували верста, сажень, аршин, вершок, фут, дюйм, географічна і морська милі. Масу визначали в пудах, фунтах, лотах, золотниках, долях, а місткість - бочками, відрами, штофами, пляшками, сотками.

І лише 14 вересня 1918 року Рада Народних Комісарів прийняла постанову про введення в нашій країні метричної системи мір.

Декрет, підписаний Леніним, зобов'язував повністю перейти на нові міри до 1 січня 1922 року.

"Римська нумерація"

Ця система нумерації склалася приблизно у II-І століттях до нашої ери, коли Римська держава досягла найвищого рівня розвитку культури.

За основу нової нумерації взяли всього сім літер, які означали: І - одиниця, V - п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, С - сто, D - п'ятсот, М - тисяча.

Решта чисел - похідні й утворюються шляхом додавання і віднімання основних знаків. Яким чином?

Якщо після символу більшого значення стоять один або кілька символів меншого значення, то вони збільшують значення першого на величину другого (других). Наприклад:

VI=5+1=6; ХV=10+5=15; МСХІ=1000+100+10+1=1111.

Якщо перед символом більшого значення стоїть символ меншого значення, то він зменшує значення більшого на відповідну величину. Наприклад: 156

ІV=5-1=4; СD=500-100=400; XС=100-10=90.

Символ, який повторюється двічі або тричі, відповідно подвоює своє значення. Наприклад:

III=1+1+1=3; ММ=1000+1000=2Ч1000; ССС=3Ч100=300; ХХ=2Ч10=20.

Римська система позначення чисел незручна, мало пристосована для обчислень, оскільки написання великого числа потребує великої кількості символів. Хоча нею користуються і в наш час. Римськими цифрами здебільшого позначають ювілейні та історичні дати, порядкові номери з'їздів, століть, розділи в книжках тощо.

"Арабські числа"

В Індії дуже полюбляли великі числа. Деякі з них і зараз викликають посмішку. Так загальна кількість богів тут становила не мало не багато, а 24 000 мільярдів. Будда мав 600 мільярдів синів - майже у сто разів більше, ніж нині живе людей на Землі. У битві людей з мавпами, яка згадується в одному з міфів, брало участь 10 000 секстильйонів мавп. Якби вся Сонячна система була заселена самими мавпами, вона ледве могла б вмістити таку кількість!

Усі ці числа ми знаходимо в індійських рукописних книгах. Передавали їх не якимись там хитромудрими громіздкими знаками, а досить простою, зручною системою невигадливих, легких для написання значків. Одні й ті самі значки могли означати кількість одиниць, десятків, сотень, тисяч і, звичайно, тих самих секстильйонів. Значення їхнє, тобто величина, залежало від місця, яке займав значок у числі.

Потім цю зручну систему перейняли араби, а від них вона проторувала шлях у Європу. За час мандрів по світах написання значків змінювалося. Сучасного вигляду вони набули з винайденням книгодрукування. Чимало людей намагалися пояснити форму арабських цифр. Що лягло в її основу? Цікавило це питання й Олександра Сергійовича Пушкіна. Він навіть знайшов своєрідну відповідь на нього.

Великий поет висував здогад, що в основу форми "шифрів", тобто цифр, покладено елементи чотирикутника.

За свою історію людство знало чимало різних систем числення. Але винайдена в Індії десяткова позиційна система виявилася найзручнішою. Позиційною, ми знаємо, вона називається тому, що значення кожної цифри (символу) в ній змінюється залежно від її місця в числі.

А чому вона десяткова - здогадатися неважко: в її основі лежить число десять. І символів - цифр вона має стільки ж.

У десятковій системі одиниці, десятки й сотні становлять перший клас - одиниць; тисячі, десятки тисяч і сотні тисяч утворюють другий клас - тисяч. Потім ідуть мільйони, більйони (мільярди), трильйони, квадрильйони, квінтильйони, секстильйони, октальйони, новенльйони, декальйони, ендекальйони, додекальйони... А яке ж найбільше число? Яка його назва? Це число асанкхея. Дослівно воно переводиться як безмежне, але має певне значення, рівне 10140 157

(тобто одиниця з 140-а нулями). На другому місті стоїть число гугол (10100 - одиниця і сто нулів). Цікаво, що якщо всім числам можна підібрати відповідне число об'єктів, то гугол і асанкхея абсолютно "віртуальні". Річ в тому, що число електронів в Всесвіті, згідно деяких теорій, не перебільшує 1087, що в 10 трильйонів раз менше гугола.

Усі недесяткові системи числення відійшли в минуле. Проте на сьогодні збереглися залишки дванадцяткової системи числення. Це від неї день у нас ділиться на 12 годин, доба - на 24 (12Ч2) години, рік - на 12 місяців Інколи деякі предмети ми ще лічимо дюжинами, тобто по дванадцять, - хустинки, ложки, виделки і таке інше. Дванадцяткова система була поширена у стародавніх римлян.

Як відомо, халдеї (стародавній народ, що заселяв узбережжя Персидської затоки) дуже захоплювалися астрономією. Вони лічили групами по 60: рік у них тривав 360 днів (60X6), коло містило 360 градусів, у градусі було 60 мінут, а кожну мінуту вони ділили на 60 секунд.

У мірах часу також знаходимо залишки шістдесяткової системи: година має 60 хвилин, хвилина - 60 секунд.

"Числа слов'ян"

У слов'янській нумерації використовували не сім літер, а двадцять сім. За тим самим зразком, що й стародавні греки, про яких ми свого часу згадували. Знаків, як для нас, незвично багато, але ця система дозволяла виконувати математичні дії. Над літерами, що зображували числа, ставився особливий значок - титло. Одиниця, наприклад, позначалася першою літерою слов'янської азбуки - "аз", двійка - "буки", трійка - "веди", четвірка - "глагол" і так далі.

Десять століть тому на Русі не знали числа, більшого тисячі. Десять тисяч здавалося нашим предкам таким великим числом, що його позначали словом "тьма". Цікавою є назва числа 40: воно походить від того, що рахували в давнину мішками, куди вміщалось рівно 4 десятки соболиних шкурок.

Коли в Росію прийшло арабське числення, одночасно з ним почала розвиватися і слов'янська лічба. Поступово з'явилися назви великих чисел. У російських рукописах XVI століття "тьмою" вже не називають десять тисяч. Тепер воно означає тисячу тисяч, тобто мільйон. Крім того, з'являються такі назви, як "тьматем", або "легіон", тобто мільйон мільйонів, або трильйон. З'явився і квадрильйон - число з п'ятнадцятьма нулями.

В одному рукописі згадується слово "колода": "сего числа несть больше".

«З історії виникнення дробових чисел.»

Математика виникла з потреби людини. Для підрахунку здобичі, врожаю та різних предметів давні люди змушені були робити різні позначки, а з часом виникли числа.

Минуло багато століть, числа стали записувати в сучасному вигляді. Щоб знайти частину від цілого, щоб ділити без остачі, довелося ввести дробові числа. 158

У ІІІ тисячолітті були створені загальні правила арифметичних дій із дробами спочатку в Єгипті та країнах Сходу.

Дії з дробами вважались дуже важкими та громіздкими. Італійські міста у ХІІ ст., а потім інші міста Європи вели жваву торгівлю з країнами Сходу. Кожне торгівельне місто заводило свого вчителя з мтематики, якого називали «майстром рахунку». Він навчав купців десяткової системи числення і дій із дробами.

                                  Колумби математики

          (додатковий матеріал для вивченя біографії великих   математиків)

                                            Піфагор

                                               (близько 548-500 р. до н.е.)

                                                                        

За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н. с. на о. Самос біля     іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї. Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда з м.Сіроса.

Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту — центру тодішньої наукової І дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природничих і математичних наук. Повернувшись на о. Самос, Піфагор планував створити філософську школу. Але з невідомих причин він незабаром залишив Самос і оселився в м. Кротоні - грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльності. Він зібрав навколо себе групу однодумців, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питання філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших містах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових членів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати нічого про її засновника Піфагора. якого вважали пророком. Члени піфагорійської школи мали спеціальний знак — правильний п'ятикутник, за яким вони впізнавали один одного.

Його учні змушені були розійтися по всій Греції. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містичного значення. Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжини. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то звукова гармонія порушується. Історичні умови того часу характеризуються широким рухом народу проти влади аристократів. Хвилі народного гніву докотилися і до Кротона. Рятуючись від нього, Піфагор разом із своїми учнями переїхав до сусіднього міста Тарента. Але й тут народ рішуче засудив реакційну роль таємної організації піфагорійців. У Метапонті, куди Піфагор утік з Тарента, в одній з нічних вуличних сутичок обірвалося життя 80-річного вченого.

Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку роботу в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі — непарні числа; злі — парні числа: досконалі — кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників (якщо з числа дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є 6, бо сума його дільників 1, 2, З дорівнює шести. Числа дружні — це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні і т. д. Зокрема, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями. Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: арифметичну, геометричну і гармонічну. Велику увагу піфагорійці приділяли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа теоремою Піфагора (Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів), хоч вона була відома задовго до нього вавілонянам.

                           Ісаак Ньютон

                                             (1643-1727)

 Ісаак Ньютон встиг за своє життя зробити так багато, що і частка його відкриттів могла зробити його ім'я безсмертним. У галузі математики він завершив пошук і вдосконалення методів розв'язування знаменитих задач обчислення площ і об'ємів криволінійних фігур, проведення дотичних до кривих ліній у заданій точці. Вони охоплюють основи сучасного інтегрального і диференціального числення, або класичної вищої математики. Створення Ньютоном і Лейбніцом незалежно один від одного аналізу нескінченно малих відкрило нову епоху розвитку математики і всього математичного природознавства. Вклад Ньютона в математику не вичерпується створенням диференціального і інтегрального числення. Його праці зіграли також важливу роль в розвитку алгебри, аналітичної та проективної геометрії, вчення про числа.

  

                            Блез Паскаль

             (1623-1662)

Видатний французький математик, фізик, літератор і філософ. Класик французької літератури, один із засновників математичного аналізу, теорії ймовірностей і проективної геометрії, автор основного закону гідростатики. Ще в 1642 році Паскаль сконструював механічну обчислювальну машину для двох арифметичних дій. Принципи, які лягли в основу цієї машини, стали пізніше вихідними в конструюванні обчислювальних машин

                                 Софія Василівна Ковалевська

                                    (1850-1891 )                               

   

    "В історії людства до Ковалевської не було жінок, рівних їй за силою і  своєріднісю математичного таланту" (С.В.Вавілов). Визначний російський математик, письменниця і публіцист. Професор Стокгольмського університету. Авторка праць з математичного аналізу (диференціальні рівняння і аналітичні функції), механіки і астрономії. Перша жінка, яку обрано членом-кореспондентом Петербурзької Академії Наук.